课堂测验-大字版（含错题本）

1. 选择题.

(1)对 $-2\times2\times2\times2\times2$ 的记法正确的是（）

A. $(-2)^5$ B. $-2^5$

C. $-2\times5$ D. $-(-2)^5$

①A ②B ③C ④D

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(2)关于 $(-3)^4$ 的说法中，正确的是（）

A. $-3$ 是底数，$4$ 是幂

B. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$-81$ 是幂

C. $3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

D. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

①A ②B ③C ④D

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(3)下列各对数中，数值相等的是（）

A. $(-2)^3$ 与 $-2^3$

B. $(-3)^2$ 与 $-3^2$

C. $-2^3$ 与 $-3^2$

D. $-3\times2^2$ 与 $3\times(-2)^2$

①A ②B ③C ④D

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(4)下列各式中，结果为负数的是（）

A. $-(-1)$ B. $-(-4)^2$

C. $-(-4)^3$ D. $0^4$

① A ② B ③ C ④D

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(5)若 $x,y$ 满足 $|x-3|+(y+3)^2=0$，则 $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}$ 的值是（）

A. $1$ B. $-1$

C. $2024$ D. $-2024$

①A ②B ③C ④D

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(6)一个数的平方为 $16$，则这个数是（）

A. $4$ B. $-4$

C. $4$ 或 $-4$ D. $8$ 或 $-8$

①A ②B ③C ④D

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(7)计算 $\dfrac{\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}}{\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}}$ 的结果是（）

A. $\dfrac{2m}{3^n}$ B. $\dfrac{2^m}{3n}$

C. $\dfrac{2m}{n^3}$ D. $\dfrac{m^2}{3n}$

①A ②B ③C ④D

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(8)在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”。当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结(如图)，由细到粗(右细左粗)，满七进一，那么孩子已经出生了（）

A. $1335$天 B. $516$天

C. $435$天 D. $54$天

①A ②B ③C ④D

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2. 填空题.

(1)在 $5^2$ 中，底数是，指数是。$-5^2$ 的意义是________________。

(2)一个数的立方是 $\dfrac{1}{64}$，则这个数是。

(3)$(-1)^{2023}+(-1)^{2024}=$。

(4)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质减少为上一年的$\dfrac45$。若剩余的物质是原来的$\dfrac{64}{125}$，则经过了年。

①

解：底数是$5$，指数是$2$；
$-5^2$表示$5$的平方的相反数。

②

解：$\because \left(\dfrac14\right)^3=\dfrac{1}{64}$，
$\therefore$ 这个数是$\dfrac14$。

③

解：$(-1)^{2023}=-1,\ (-1)^{2024}=1$，
原式$=-1+1=0$。

④

解：设经过$n$年，$\left(\dfrac45\right)^n=\dfrac{64}{125}$，$\left(\dfrac45\right)^n=\left(\dfrac45\right)^3$，得$n=3$。

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3. 计算.

(1) $-1^9$

(2) $-(-2)^2$

(3) $\left(-1\dfrac12\right)^3$

(4) $-\dfrac{3}{2^3}$

①

(1)解：$-1^9 = -1$

②

(2)解：$-(-2)^2 = -(4) = -4$

③

(3)解：$\left(-1\dfrac12\right)^3=\left(-\dfrac32\right)^3=-\dfrac{27}{8}$

④

(4)解：$-\dfrac{3}{2^3}=-\dfrac{3}{8}$

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(5) $-3^2 \div (-3)^2$

(6) $(-3)^2 \times (-2^3)$

①(5)原式$=-9 \div 9=-1$ ②(6)原式$=9 \times (-8)$
$=-72$

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4. 已知 $x,y$ 都是有理数，且 $|x+1|+(y+4)^2=0$，求 $x^5y+xy^3$ 的值。

①解： $\because |x+1|\ge 0,\ (y+4)^2\ge 0$，两个非负数相加等于0，则各自为0
$\therefore x+1=0,\ y+4=0$
得 $x=-1,\ y=-4$。 ②$x^5y+xy^3 $
$= (-1)^5\times(-4)+(-1)\times(-4)^3$
$=(-1)\times(-4)+(-1)\times(-64)$ ③$=4+64$ ④$=68$
答：值是$68$

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5. 有一张厚度是 $0.1\ \text{mm}$ 的纸，将它对折 $1$ 次后，厚度是 $2\times0.1\ \text{mm}$。

(1)对折 $2$ 次后，厚度是 $\underline{\quad\quad}\ \text{mm}$。

(2)对折 $4$ 次后，厚度是 $\underline{\quad\quad}\ \text{mm}$。

(3)若一层楼高约为 $3\ \text{m}$，则把纸对折 $15$ 次后，其厚度与一层楼相比，哪个高？为什么？

①

解：
对折 $n$ 次，厚度公式：$2^n \times 0.1\ \text{mm}$
(1) $2^2\times0.1 = 4\times0.1=0.4$ ②(2) $2^4\times0.1 = 16\times0.1=1.6$ ③(3) $2^{15}\times0.1 = 32768\times0.1=3276.8\ \text{mm}$
$3276.8\ \text{mm}=3.2768\ \text{m}$
$\because 3.2768>3$
$\therefore$ 对折 $15$ 次后的纸厚度更高。 ④

答案：对折15次后纸的厚度更高。

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6. 概念学习：规定求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方，如 $2\div2\div2$，$(-3)\div(-3)\div(-3)\div(-3)$等。类比有理数的乘方，我们把 $2\div2\div2$ 记作 $2^{\circledcirc3}$，读作“2的圈3次方”，$(-3)\div(-3)\div(-3)\div(-3)$记作$(-3)^{\circledcirc4}$，读作“$-3$的圈4次方”。一般地，把 $\underbrace{a\div a\div a\div\cdots\div a}_{n个a}(a\neq0)$记作$a^{\circledcirc n}$，读作“$a$的圈$n$次方”。

初步探究：

(1)直接写出计算结果：$2^{\circledcirc3}=\underline{\quad\quad}$，$\left(-\dfrac12\right)^{\circledcirc3}=\underline{\quad\quad}$。

深入思考：

例如，$(-3)^{\circledcirc4}$
$=(-3)\div(-3)\div(-3)\div(-3)$
$=(-3)\times\left(-\dfrac13\right)\times\left(-\dfrac13\right)\times\left(-\dfrac13\right)$
$=\left(-\dfrac13\right)^2$
$=\left(\dfrac13\right)^2$。

(2)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式。

$5^{\circledcirc6}=\underline{\quad\quad}$，$\left(-\dfrac12\right)^{\circledcirc6}=\underline{\quad\quad}$。

(3)算一算：$2^2 \div \left(-\dfrac13\right)^{\circledcirc4} \times (-2)^{\circledcirc3} - \left(-\dfrac13\right)^{\circledcirc5} \div 3^{\circledcirc3}$。

①(1)$2^{\circledcirc3}=2\div2\div2=\dfrac12$
$\left(-\dfrac12\right)^{\circledcirc3}=\left(-\dfrac12\right)\div\left(-\dfrac12\right)\div\left(-\dfrac12\right)=-2$
②(2)$5^{\circledcirc6}=5\div5\div5\div5\div5\div5=\left(\dfrac15\right)^4$
$\left(-\dfrac12\right)^{\circledcirc6}=\left(-2\right)^4$
③(3)先转化除方：
$\left(-\dfrac13\right)^{\circledcirc4}=(-3)^2=9$
$(-2)^{\circledcirc3}=(-2)\div(-2)\div(-2)=-\dfrac12$
$\left(-\dfrac13\right)^{\circledcirc5}=(-3)^3=-27$
$3^{\circledcirc3}=3\div3\div3=\dfrac13$
④原式$=4 \div 9 \times \left(-\dfrac12\right) - (-27) \div \dfrac13$
$=\dfrac49 \times \left(-\dfrac12\right) - (-27)\times3$
$=-\dfrac29 +81$
$=\dfrac{727}{9}$

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7. 如图，把一个面积为 $1$ 的正方形等分成两个面积为 $\dfrac12$ 的长方形，接着把一个面积为 $\dfrac12$ 的长方形等分成两个面积为 $\dfrac14$ 的正方形，再把一个面积为 $\dfrac14$ 的正方形等分成两个面积为 $\dfrac18$ 的长方形。如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算：

$\dfrac12+\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac12\right)^3+\left(\dfrac12\right)^4+\left(\dfrac12\right)^5+\left(\dfrac12\right)^6+\left(\dfrac12\right)^7+\left(\dfrac12\right)^8$。

①

解：
由图可知，整个正方形面积为 $1$，剩余空白部分面积为 $\left(\dfrac12\right)^8$
②原式$=1-\left(\dfrac12\right)^8$
③$=1-\dfrac{1}{256}$
④$=\dfrac{255}{256}$

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课时练 1.10 有理数的乘方

1. 选择题.

(1)对 $-2\times2\times2\times2\times2$ 的记法正确的是（）

A. $(-2)^5$ B. $-2^5$

C. $-2\times5$ D. $-(-2)^5$

(2)关于 $(-3)^4$ 的说法中，正确的是（）

A. $-3$ 是底数，$4$ 是幂

B. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$-81$ 是幂

C. $3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

D. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

解：
在 $(-3)^4$ 中，底数是 $-3$，指数是 $4$，$(-3)^4$ 整体叫做幂。
$(-3)^4=81$，所以B错误；底数不是3，C错误；4是指数不是幂，A错误。

答案：D

(3)下列各对数中，数值相等的是（）

A. $(-2)^3$ 与 $-2^3$

B. $(-3)^2$ 与 $-3^2$

C. $-2^3$ 与 $-3^2$

D. $-3\times2^2$ 与 $3\times(-2)^2$

解：
A.$(-2)^3=-8$，$-2^3=-8$，两数相等。
B.$(-3)^2=9$，$-3^2=-9$，不相等。
C.$-2^3=-8$，$-3^2=-9$，不相等。
D.$-3\times2^2=-12$，$3\times(-2)^2=12$，不相等。

答案：A

(4)下列各式中，结果为负数的是（）

A. $-(-1)$ B. $-(-4)^2$

C. $-(-4)^3$ D. $0^4$

解：
A.$-(-1)=1$，正数；
B.$-(-4)^2 = -(16) = -16$，负数；
C.$-(-4)^3 = -(-64)=64$，正数；
D.$0^4=0$，既不是正数也不是负数。

答案：B

(5)若 $x,y$ 满足 $|x-3|+(y+3)^2=0$，则 $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}$ 的值是（）

A. $1$ B. $-1$

C. $2024$ D. $-2024$

解：
绝对值与平方数都是非负数，两个非负数相加等于$0$，则各自都为$0$。
$|x-3|=0 \Rightarrow x=3$
$(y+3)^2=0 \Rightarrow y=-3$
$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{-3}=-1$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}=(-1)^{2024}=1$

答案：A

(6)一个数的平方为 $16$，则这个数是（）

A. $4$ B. $-4$

C. $4$ 或 $-4$ D. $8$ 或 $-8$

解：
$\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$，
$\therefore$ 平方等于$16$的数是$4$或$-4$。

答案：C

(7)计算 $\dfrac{\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}}{\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}}$ 的结果是（）

A. $\dfrac{2m}{3^n}$ B. $\dfrac{2^m}{3n}$

C. $\dfrac{2m}{n^3}$ D. $\dfrac{m^2}{3n}$

解：
$m$个$2$相乘：$\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}=2^m$
$n$个$3$相加：$\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}=3n$
原式$=\dfrac{2^m}{3n}$

答案：B

解：
满七进一，是七进制，从右到左依次为：个位、$7^1$位、$7^2$位、$7^3$位。
图上从右往左绳结数：$5,2,3,1$
\begin{align} &1\times 7^3 + 3\times 7^2 + 2\times 7 + 5 \\ =&1\times 343 + 3\times 49 + 14 + 5 \\ =&343+147+14+5 \\ =&516 \end{align}

答案：B

3. 计算.

(1) $-1^9$

(2) $-(-2)^2$

(3) $\left(-1\dfrac12\right)^3$

(4) $-\dfrac{3}{2^3}$

(5) $-3^2 \div (-3)^2$

(6) $(-3)^2 \times (-2^3)$

4. 已知 $x,y$ 都是有理数，且 $|x+1|+(y+4)^2=0$，求 $x^5y+xy^3$ 的值。

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课时练 1.10 有理数的乘方

1. 选择题. (1)对 $-2\times2\times2\times2\times2$ 的记法正确的是（） A. $(-2)^5$ B. $-2^5$ C. $-2\times5$ D. $-(-2)^5$

(2)关于 $(-3)^4$ 的说法中，正确的是（） A. $-3$ 是底数，$4$ 是幂 B. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$-81$ 是幂 C. $3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂 D. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

解： 在 $(-3)^4$ 中，底数是 $-3$，指数是 $4$，$(-3)^4$ 整体叫做幂。 $(-3)^4=81$，所以B错误；底数不是3，C错误；4是指数不是幂，A错误。 答案：D

(3)下列各对数中，数值相等的是（） A. $(-2)^3$ 与 $-2^3$ B. $(-3)^2$ 与 $-3^2$ C. $-2^3$ 与 $-3^2$ D. $-3\times2^2$ 与 $3\times(-2)^2$

解： A.$(-2)^3=-8$，$-2^3=-8$，两数相等。 B.$(-3)^2=9$，$-3^2=-9$，不相等。 C.$-2^3=-8$，$-3^2=-9$，不相等。 D.$-3\times2^2=-12$，$3\times(-2)^2=12$，不相等。 答案：A

(4)下列各式中，结果为负数的是（） A. $-(-1)$ B. $-(-4)^2$ C. $-(-4)^3$ D. $0^4$

解： A.$-(-1)=1$，正数； B.$-(-4)^2 = -(16) = -16$，负数； C.$-(-4)^3 = -(-64)=64$，正数； D.$0^4=0$，既不是正数也不是负数。 答案：B

(5)若 $x,y$ 满足 $|x-3|+(y+3)^2=0$，则 $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}$ 的值是（） A. $1$ B. $-1$ C. $2024$ D. $-2024$

解： 绝对值与平方数都是非负数，两个非负数相加等于$0$，则各自都为$0$。 $|x-3|=0 \Rightarrow x=3$ $(y+3)^2=0 \Rightarrow y=-3$ $\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{-3}=-1$ $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}=(-1)^{2024}=1$ 答案：A

(6)一个数的平方为 $16$，则这个数是（） A. $4$ B. $-4$ C. $4$ 或 $-4$ D. $8$ 或 $-8$

解： $\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$， $\therefore$ 平方等于$16$的数是$4$或$-4$。 答案：C

(7)计算 $\dfrac{\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}}{\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}}$ 的结果是（） A. $\dfrac{2m}{3^n}$ B. $\dfrac{2^m}{3n}$ C. $\dfrac{2m}{n^3}$ D. $\dfrac{m^2}{3n}$

解： $m$个$2$相乘：$\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}=2^m$ $n$个$3$相加：$\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}=3n$ 原式$=\dfrac{2^m}{3n}$ 答案：B

解： 满七进一，是七进制，从右到左依次为：个位、$7^1$位、$7^2$位、$7^3$位。 图上从右往左绳结数：$5,2,3,1$ \begin{align*} &1\times 7^3 + 3\times 7^2 + 2\times 7 + 5 \\ =&1\times 343 + 3\times 49 + 14 + 5 \\ =&343+147+14+5 \\ =&516 \end{align*} 答案：B

3. 计算. (1) $-1^9$ (2) $-(-2)^2$ (3) $\left(-1\dfrac12\right)^3$ (4) $-\dfrac{3}{2^3}$

(5) $-3^2 \div (-3)^2$ (6) $(-3)^2 \times (-2^3)$

4. 已知 $x,y$ 都是有理数，且 $|x+1|+(y+4)^2=0$，求 $x^5y+xy^3$ 的值。

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1. 选择题.

(1)对 $-2\times2\times2\times2\times2$ 的记法正确的是（）

A. $(-2)^5$ B. $-2^5$

C. $-2\times5$ D. $-(-2)^5$

(2)关于 $(-3)^4$ 的说法中，正确的是（）

A. $-3$ 是底数，$4$ 是幂

B. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$-81$ 是幂

C. $3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

D. $-3$ 是底数，$4$ 是指数，$(-3)^4$ 是幂

解：
在 $(-3)^4$ 中，底数是 $-3$，指数是 $4$，$(-3)^4$ 整体叫做幂。
$(-3)^4=81$，所以B错误；底数不是3，C错误；4是指数不是幂，A错误。

答案：D

(3)下列各对数中，数值相等的是（）

A. $(-2)^3$ 与 $-2^3$

B. $(-3)^2$ 与 $-3^2$

C. $-2^3$ 与 $-3^2$

D. $-3\times2^2$ 与 $3\times(-2)^2$

解：
A.$(-2)^3=-8$，$-2^3=-8$，两数相等。
B.$(-3)^2=9$，$-3^2=-9$，不相等。
C.$-2^3=-8$，$-3^2=-9$，不相等。
D.$-3\times2^2=-12$，$3\times(-2)^2=12$，不相等。

答案：A

(4)下列各式中，结果为负数的是（）

A. $-(-1)$ B. $-(-4)^2$

C. $-(-4)^3$ D. $0^4$

解：
A.$-(-1)=1$，正数；
B.$-(-4)^2 = -(16) = -16$，负数；
C.$-(-4)^3 = -(-64)=64$，正数；
D.$0^4=0$，既不是正数也不是负数。

答案：B

(5)若 $x,y$ 满足 $|x-3|+(y+3)^2=0$，则 $\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}$ 的值是（）

A. $1$ B. $-1$

C. $2024$ D. $-2024$

解：
绝对值与平方数都是非负数，两个非负数相加等于$0$，则各自都为$0$。
$|x-3|=0 \Rightarrow x=3$
$(y+3)^2=0 \Rightarrow y=-3$
$\dfrac{x}{y}=\dfrac{3}{-3}=-1$
$\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2024}=(-1)^{2024}=1$

答案：A

(6)一个数的平方为 $16$，则这个数是（）

A. $4$ B. $-4$

C. $4$ 或 $-4$ D. $8$ 或 $-8$

解：
$\because 4^2=16$，$(-4)^2=16$，
$\therefore$ 平方等于$16$的数是$4$或$-4$。

答案：C

(7)计算 $\dfrac{\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}}{\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}}$ 的结果是（）

A. $\dfrac{2m}{3^n}$ B. $\dfrac{2^m}{3n}$

C. $\dfrac{2m}{n^3}$ D. $\dfrac{m^2}{3n}$

解：
$m$个$2$相乘：$\overbrace{2\times 2\times \dots\times 2}^{m\text{个}}=2^m$
$n$个$3$相加：$\underbrace{3+3+\dots+3}_{n\text{个}}=3n$
原式$=\dfrac{2^m}{3n}$

答案：B

解：
满七进一，是七进制，从右到左依次为：个位、$7^1$位、$7^2$位、$7^3$位。
图上从右往左绳结数：$5,2,3,1$
\begin{align} &1\times 7^3 + 3\times 7^2 + 2\times 7 + 5 \\ =&1\times 343 + 3\times 49 + 14 + 5 \\ =&343+147+14+5 \\ =&516 \end{align}

答案：B

3. 计算.

(1) $-1^9$

(2) $-(-2)^2$

(3) $\left(-1\dfrac12\right)^3$

(4) $-\dfrac{3}{2^3}$

(5) $-3^2 \div (-3)^2$

(6) $(-3)^2 \times (-2^3)$